Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，將△ABC繞點A旋轉后，點C落在射線BA上，點B落到點D處，那么sin∠ADB的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作出圖形，設BC=4a，AB=5a，求出AC，再根據旋轉的性質可得AB=AD，AC=AC′，BC=C′D，然后分①逆時針旋轉時，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，根據等邊對等角求出∠ADB=∠ABD，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；②順時針旋轉時，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，過點A作AE⊥BD于E，根據等腰三角形三線合一的性質求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根據銳角的正弦值等于對邊比斜邊列式計算即可得解．
解答：解：∵∠C=90°，sinA=，
∴設BC=4a，AB=5a，
則AC==3a，
根據旋轉的性質，AB=AD=5a，AC=AC′=3a，BC=C′D=4a，
①如圖1，逆時針旋轉時，BC′=AB+AC′=5a+3a=8a，
根據勾股定理，BD===4a，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴sin∠ADB=sin∠ABD===；
②如圖2，順時針旋轉時，BC′=AB-AC′=5-3=2，
根據勾股定理，BD===2a，
過點A作AE⊥BD于E，則BE=BD=×2a=a，
在Rt△ABE中，AE===2a，
∴sin∠ADB===；
綜上所述，sin∠ADB的值為或．
故答案為：或．
點評：本題考查了旋轉的性質，勾股定理的應用，等邊對等角的性質，等腰三角形三線合一的性質，難點在于要分情況討論并找出∠ADB所在的直角三角形，作出圖形更形象直觀．