Question

如圖，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N，若EG=4，GF=6，BM=，則MN的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”證明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，從而有BE=EG=4，DF=FG=6，設正方形的邊長為a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形對角線BD的長，再證明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．
解答：解：如圖，連接GM，GN，
∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE，
同理可證△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
設正方形的邊長為a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE²+CF²=EF²，即（a-4）²+（a-6）²=10²，
解得a=12或-2（舍去負值），
∴BD=12，
易證△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3，NG=ND=12-3-MN=9-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG²+NG²=MN²，
即（3）²+（9-MN）²=MN²，
解得MN=5．
故答案為：5．
點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理的運用．關鍵是通過作輔助線，利用圖形的對稱性證明三角形全等，利用勾股定理進行相關計算．