Question

王明、李宏和趙亮參加同樣系列的測試．在每一項測試中，三人的成績均為兩兩相異的正整數x，y，z．每人所得的成績總和如下：王明20分，李宏lO分，趙亮9分．若李宏在代數測試中名列第一，那么幾何測試中誰列第二位？

Answer 1

分析：不妨假設x＞y＞z≥1，記N為測試的項數，據題意（系列測試）知N＞1，且有（x+y+z）N=20+10+9=39．于是兩兩相異的整數x，y，z可能為（x，y，z）=（1 0，2，1）：（9，3，1），（8，4，1），（8，3，2），（7，5，1），（7，4，2），（6，5，2），（6，4，3）基于王明的總分為20，只有（8，4，1）是可能的，刪去其他情況．從而得出趙亮在幾何測試中位列第二．

解答：解：不妨假設x＞y＞z≥1，記N為測試的項數，據題意（系列測試）知N＞1，且有（x+y+z）N=20+10+9=39．
因x+y+z≥3+2+1=6，知N≤6，又因N整除3 9，
所以N=3，x+y+z=1 3 （x，y，z≥1）．
于是兩兩相異的整數x，y，z可能為（x，y，z）=（1 0，2，1）：（9，3，1），（8，4，1），（8，3，2），（7，5，1），（7，4，2），（6，5，2），（6，4，3）基于王明的總分為20，只有（8，4，1）是可能的，刪去其他情況．
因此李宏的代數測試成績為8，4，1中的最大值8．這樣問題就轉化為填空下列表格，使得每一行都為8，4，1這三個成績，三列的總和分別為20，10，9．

容易找到問題的唯一解，

因此趙亮在幾何測試中位列第二．

點評：本題考查了數的整除性問題，是競賽題有一定的難度．