Question

設x和y是正整數，x≠y，p是奇質數，并且

1

x

+

1

y

=

2

p

，求x+y的值．

Answer 1

分析：根據x和y是正整數，x≠y，p是奇質數，由

1

x

+

1

y

=

2

p

可知xy=

p(x+y)

2

，由k為正整數可得2xy=kp，再由質數的定義可知2t-1=1或2t-1=p，由x≠y及2t-1為質數即可得出結論．

解答：解：

x+y

xy

=

2

p

，得x+y=

2xy

p

=k，k為正整數可得2xy=kp，
所以p整除2xy，且p為奇質數，所以p整除xy，進而p整除x或y，
不妨設x=tp，則tp+y=2ty，得y=

tp

2t-1

為整數，又t與2t-1互質所以2t-1整除p，p為質數，
所以2t-1=1或2t-1=p，
若2t-1=1，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；
若2t-1=p，則

x+y

xy

=

2

p

，2xy=p（x+y）
∵P是奇質數，則x+y為偶數，x、y同奇偶性、只能同為xy=

p(x+y)

2

必有某數含因數P，令x=aP
ay=

ap+y 2

，2ay=p+y，
∴y=

ap

2a-1

，
到此可知，a、2a-1互質，2a-1整除P，又P是質數，則2a-1=p，a=y=

(p+1)

2

，
x=

(p+1)

2

•p=

p(p+1)

2

∴x+y=

p(p+1)

2

+

(p+1)

2

=

(p+1)2

2

．

點評：本題考查的是質數與合數、數的整除性問題，解答此題的關鍵根據題意得出p整除x或y，由質數的定義得到2t-1=1或2t-1=p，再進行討論，此題難度較大．