Question

已知直線ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整數）．當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與 x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，設△A₁OB₁（O是平面直角坐標系的原點）的面積為s₁；當n=2時，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點A₂和B₂，設△A₂OB₂的面積為s₂，…，依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點A_n和B_n，設△A_nOB_n的面積為S_n．
（1）求△A₁OB₁的面積s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值．

Answer 1

分析：（1）求出直線與X、Y軸的交點坐標，根據三角形的面積公式求出即可；
（2）由（1）知：S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

2

×（1-

1

2

），同理求出S₂=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），S₃=

1

2

（

1

3

-

1

4

），…S₂₀₀₉=

1

2

×（

1

2009

-

1

2010

），代入S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉求出即可．

解答：解：（1）y=-2x+1，
當x=0時，y=1，
當y=0時，x=

1

2

，
∴S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
答：△A₁OB₁的面積s₁是

1

4

．

（2）由（1）知：S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

2

×（1-

1

2

），
同理求出S₂=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

×（

1

2

-

1

3

），
S₃=

1

2

（

1

3

-

1

4

），
…
S₂₀₀₉=

1

2

×（

1

2009

-

1

2010

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

），
=

1

2

×（1-

1

2010

）=

2009

4020

，
答：s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₉的值是

2009

4020

．

點評：本題主要考查對三角形的面積，一次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能根據計算得出規律是解此題的關鍵．