Question

已知⊙O的直徑20，OP長為8，則過P的弦中，弦長為整數的弦共有（ ）條．
A．1
B．9
C．17
D．16

Answer 1

【答案】分析：求出過P點的弦的長度的取值范圍，取特殊解，根據對稱性綜合求解．
解答：解：如圖，AB是直徑，OA=10，OP=8，過點P作CD⊥AB，交圓于點C，D兩點．
由垂徑定理知，點P是CD的中點，
∴PC=4，
在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，
∴CD=12，則CD是過點P最短的弦長為12；AB是過P最長的弦，長為20．
故過點P的弦的長度都在12～20之間；
因此弦長為12，13，14，15，16，17，18，19，20；
當弦長為12、20時，過P點的弦分別為弦CD和過P點的直徑，分別有一條；
當弦長為13，14，15，16，17，18，19時，根據圓的對稱性知，符合條件的弦應該有兩條；
故弦長為整數的弦共有16條．
故選D．
點評：此題考查的是垂徑定理及勾股定理的應用．需注意的是當弦長為13，14，15，16，17，18，19時，根據圓的對稱性可得出兩個符合條件的弦，不要漏解．