Question

（2013•玄武區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），與y軸交點(diǎn)為A．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）將該二次函數(shù)的圖象沿x軸翻折后對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是

y=-x²+2x+3

；
（3）若坐標(biāo)分別為（m，n）、（n，m）的兩個(gè)不重合的點(diǎn)均在該二次函數(shù)圖象上，求m+n的值．
（4）若該二次函數(shù)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，C為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，D為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出該平行四邊形的面積．

Answer 1

分析：（1）由y=x²+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），得出該二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=（x-1）²-4，展開得到二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x²-2x-3，再令x=0，求出y=-3，得到與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先求出y=x²-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4）沿x軸翻折后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再由二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)
得出新拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4，展開即可求解；
（3）先將（m，n）、（n，m）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²-2x-3，得到n=m²-2m-3①，m=n²-2n-3②，再用①-②，整理得出m²-n²-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0，由m≠n，求出m+n=1；
（4）先由y=x²-2x-3，求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①如果BD為平行四邊形的邊，那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BD∥AC，且BD=AC，則A、C關(guān)于二次函數(shù)y=x²-2x-3的對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，得到AC=2，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的面積公式得到S_?ABDC=AC•OA，代入數(shù)值，即可求解；②如果BD為平行四邊形的對(duì)角線，那么BD與AC互相平分，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)P，由P在x軸上，其縱坐標(biāo)為0，得出C點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，再由C為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，把y=3代入y=x²-2x-3，求出x的值，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1+ 7

2

，0），則BD=2BP=3+

7

，然后根據(jù)S_?ABCD=S_△ABD+S_△CBD，將數(shù)值代入即可求解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
∴該二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3）；

（2）∵y=x²-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
∴沿x軸翻折后二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴新拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4，
即將該二次函數(shù)的圖象沿x軸翻折后對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=-x²+2x+3；

（3）∵坐標(biāo)分別為（m，n）、（n，m）的兩個(gè)不重合的點(diǎn)均在二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象上，
∴n=m²-2m-3①，m=n²-2n-3②，
①-②，得n-m=（m²-2m-3）-（n²-2n-3），
整理，得m²-n²-m+n=0，
∴（m-n）（m+n-1）=0，
∵m≠n，∴m-n≠0，
∴m+n=1；

（4）∵y=x²-2x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況，如圖：
①如果BD為平行四邊形的邊，那么BD∥AC，且BD=AC，
∴AC∥x軸，A、C關(guān)于二次函數(shù)y=x²-2x-3的對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），AC=2，
∴S_?ABDC=AC•OA=2×3=6；
②如果BD為平行四邊形的對(duì)角線，那么BD與AC互相平分，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)P．
∵P為BD中點(diǎn)，BD在x軸上，
∴P在x軸上，其縱坐標(biāo)為0，
∵P為AC中點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=x²-2x-3，得3=x²-2x-3，
解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

（不合題意舍去），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

7

，3），P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1+ 7

2

，0），
∴BD=2BP=2×（

1+ 7

2

+1）=3+

7

，
∴S_?ABCD=S_△ABD+S_△CBD=2S_△ABD=

1

2

×（3+

7

）×3×2=9+3

7

；
綜上可知，當(dāng)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，該平行四邊形的面積為6或9+3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到二次函數(shù)解析式的確定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．