Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，C為的中點，延長AD，BC交于點P，連結AC．

（1）求證：AB＝AP；

（2）若AB＝10，DP＝2，

①求線段CP的長；

②過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，求△ADF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①PC＝；②S△ADF＝．

【解析】

（1）利用等角對等邊證明即可；

（2）①利用勾股定理分別求出BD，PB，再利用等腰三角形的性質即可解決問題；

②作FH⊥AD于H，首先利用相似三角形的性質求出AE，DE，再證明AE=AH，設FH=EF=x,利用勾股定理構建方程解決問題即可.

（1）證明：∵＝，

∴∠BAC＝∠CAP，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝∠ACP＝90°，

∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，

∴∠ABC＝∠P，

∴AB＝AP．

（2）

①解：連接BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝∠BDP＝90°，

∵AB＝AP＝10，DP＝2，

∴AD＝10﹣2＝8，

∴BD＝＝＝6，

∴PB＝＝＝2，

∵AB＝AP，AC⊥BP，

∴BC＝PC＝PB＝，

∴PC＝．

②解：作FH⊥AD于H．

∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠ADB＝90°，

∵∠DAE＝∠BAD，

∴△ADE∽△ABD，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴AE＝，DE＝，

∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，

∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，

∵AF＝AF，

∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），

∴AH＝AE＝，DH＝AD﹣AH＝，設FH＝EF＝x，

在Rt△FHD中，則有（﹣x）2＝x2+（）2，

解得x＝，

∴S△ADF＝ADFH＝×8×＝．

故答案為①PC＝；②S△ADF＝．