Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點(diǎn)．

①求證：EF與GH互相平分；

②當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足____________條件時(shí)，EF⊥GH．(不必證明)

Answer 1

【答案】①證明見解析；②AB=CD

【解析】

①連接GE、GF、HF、EH，利用三角形中位線性質(zhì)得出EG=CD，FG=AB，FH=CD，EH=AB，由此證明出EG=FH，FG=EH，從而得出四邊形FGEH為平行四邊形，據(jù)此即可證明結(jié)論；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)可知對(duì)角線互相垂直，由此結(jié)合三角形中位線性質(zhì)進(jìn)一步求解即可.

①如圖，連接GE、GF、HF、EH，

∵E、G分別為BC、BD中點(diǎn)，

∴EG=CD，

同理可得：FG=AB，FH=CD，EH=AB，

∴EG=FH，FG=EH，

∴四邊形FGEH為平行四邊形，

∴EF與GH互相平分；

②當(dāng)EF⊥GH時(shí)，平行四邊形FGEH為菱形，

此時(shí)GF=GE=FH=EH，

∵EG=CD，FG=AB，FH=CD，EH=AB，

∴AB=CD，

∴當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足AB=CD時(shí)，EF⊥GH，

故答案為：AB=CD.