Question

20、如圖1，E、F、M、N是正方形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA上可以移動的四個點，每組對邊上的兩個點，可以連接成一條線段．
（1）如圖2，如果EF∥BC，MN∥CD，那么EF

垂直

MN（位置），EF

等于

MN（大小）；
（2）如圖3，如果E與A，F與C，M與B，N與D重合，那么EF

垂直

MN（位置），EF

等于

MN（大小）；

（3）當點E、F、M、N不再處于正方形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA特殊的位置時，猜想線段EF、MN滿足什么位置關系時，才會有EF=MN，畫出相應的圖形，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由EF∥BC，MN∥CD，BC⊥CD可得EF⊥MN，且EF=MN．
（2）E與A，F與C，M與B，N與D重合，則EF，MN是正方形的對角線，根據對角線的性質互相垂直且互相平分可得出結論．

解答：解：（1）EF⊥MN，EF=MN；
（2）EF⊥MN，EF=MN；
（3）猜想：當EF⊥MN時，才會有EF=MN，如圖，連接EF交MN與O，作EF⊥MN．
證明猜想：如圖，作EF⊥MN，EF交MN與O．
過點N作NG⊥BC，過點F作FH⊥AB交MN與U，
又EF⊥MN，在Rt△MNG和Rt△EFH中，∠MGN=∠EHF=90°，FH=NG，
∠MNG+∠NUF=90°，∠EFH++∠NUF=90°
∴∠MNG=∠EFH
所以Rt△MNG≌Rt△EFH，所以EF=MN．

點評：本題考查正方形的性質和全等三角形的判定，要根據平時做題的結論做出大膽的猜想，然后再去證明．