Question

二次函數的圖象如圖所示，點A位于坐標原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函數位于第一象限的圖象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都為等邊三角形，則△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長=    ．

Answer 1

【答案】分析：分別過B₁，B₂，B₃作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設AA₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=a，BB₂=b，CB₃=c，再根據所求正三角形的邊長，分別表示B₁，B₂，B₃的縱坐標，逐步代入拋物線y=x²中，求a、b、c的值得出規律．
解答：解：分別過B₁，B₂，B₃作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，
設AA₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，則AB₁=a，BB₂=b，CB₃=c，
在正△AB₁A₁中，B₁（a，），
代入y=x²中，得 =•（a）²，解得a=1，即AA₁=1，
在正△A₁B₂A₂中，B₂（b，1+），
代入y=x²中，得1+=•（b）²，解得b=2，即A₁A₂=2，
在正△A₂B₃A₃中，B₃（c，3+），
代入y=x²中，得3+=•（c）²，解得c=3，即A₂A₃=3，
由此可得△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的邊長=2011．
故答案為：2011．
點評：此題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據正三角形的性質表示點的坐標，利用拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規律．