Question

如圖所示，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，點P不與點0、點A重合．連接CP，過點P作PD交AB于點D．
（1）求點B的坐標；
（2）當點P運動什么位置時，△OCP為等腰三角形，求這時點P的坐標；
（3）當點P運動什么位置時，使得∠CPD=∠OAB，且，求這時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根據三角函數的定義可得QB的長，進而可得OQ的長；即可得B的坐標；
（2）分點P在x正半軸上與x負半軸上上兩種情況討論，結合等腰三角形的性質，可得OP、OC的長，進而可得答案；
（3）根據題意易得△COP∽△PAD，進而可得比例關系，代入數據可得答案．
解答：解：（1）過B作BQ⊥OA于Q，則∠COA=∠BAQ=60°，
在Rt△BQA中，QB=ABsin60°=，
，
∴OQ=OA-QA=7-2=5．
∴B（5，）．

（2）①當OC=OP時，若點P在x正半軸上，
∵∠COA=60°，△OCP為等腰三角形，
∴△OCP是等邊三角形．
∴OP=OC=CP=4．
∴P（4，0）．
若點P在x負半軸上，
∵∠COA=60°，
∴∠COP=120°．
∴△OCP為頂角120°的等腰三角形．
∴OP=OC=4．
∴P（-4，0）
∴點P的坐標為（4，0）或（-4，0）．
②當OC=CP時，由題意可得C的橫坐標為：4×cos60°=2，
∴P點坐標為（4，0）
③當OP=CP時，
∵∠COA=60°，
∴△OPC是等邊三角形，同①可得出P（4，0）．
綜上可得點P的坐標為（4，0）或（-4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OPC+∠DPA=120°．
又∵∠PDA+∠DPA=120°，
∴∠OPC=∠PDA．
∵∠COP=∠A=60°，
∴△COP∽△PAD．
∴．
∵，AB=4，
∴BD=，
AD=．
即．
∴7OP-OP²=6得OP=1或6．
∴P點坐標為（1，0）或（6，0）．
點評：本題是一道動態幾何壓軸題，對學生的分類思想作了重點的考查，是一道很不錯的題．