Question

28、小明在研究正方形的有關問題時發現有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且∠FAE=∠EAD．你能夠得出什么樣的正確的結論？”
（1）小明經過研究發現：EF⊥AE．請你對小明所發現的結論加以證明；
（2）小明之后又繼續對問題進行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖②、圖③、圖④），其它條件均不變，認為仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的觀點嗎？若你同意小明的觀點，請取圖③為例加以證明；若你不同意小明的觀點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長AE交BC的延長線與點M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點就可以證得．
（2）同（1），延長AE交BC的延長線與點M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點就可以證得．

解答：證明：（1）如圖①，延長AE交BC的延長線與點M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（2）EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如圖③，延長AE交BC的延長線與點M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質：三線合一定理，把證明垂直的問題轉化為證明等腰三角形底邊上的中線的問題．