Question

27、如圖①，小明在研究正方形ABCD的有關問題時，得出：“在正方形ABCD中，如果點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖②、圖③、圖④），其它條件不變，發現仍然有“EF⊥AE”結論．
你同意小明的觀點嗎？同意，請結合圖④加以證明；若不同意，請說明理由．

Answer 1

分析：延長AE交BC的延長線與點M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點就可以證得．

解答：證明：延長AE交BC的延長線與點M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，則AE=EM，
∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質：三線合一定理，把證明垂直的問題轉化為證明等腰三角形底邊上的中線的問題．