Question

【題目】如圖1，是內任意一點，連接，分別以為邊作（在的左側）和（在的右側），使得，，連接．

（1）求證：；

（2）如圖2，交于點，若，點共線，其他條件不變，

①判斷四邊形的形狀，并說明理由；

②當，，且四邊形是正方形時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形是矩形．理由見解析；②．

【解析】

（1）根據,得到,,再證,

方法一:通過證明,,從而四邊形是平行四邊形, ,所以為矩形.

方法二:證明

方法三:證,,．

（1）∵，

∴，．

∴，，即．．

∴．

（2）①四邊形是矩形．理由如下：

方法一：由（1）知，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵，∴，．

∴，，即．

∴． ∴．

∵． ∴．

∴．∴．∴．

∴四邊形是平行四邊形．

∵，，點共線，∴．

∴四邊形是矩形．

方法二：如圖

由（1）知，∴．

∵，，點共線，∴．

∴，．

又∵，∴．

∴．

∴．

∵,

∴，即．

∴．

∵，∴，

∴，，即．

∴，∴．

∵，，點共線，

∴．

∴，．

∴，即．

∴．

∵，，

∴四邊形是矩形．

方法三：由（1）知，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

由（1）知，∴．

∵，，點共線，∴．

∴，．

又∵，∴，∴．

∴．

∵，∴，即．

∴． ∵，∴．

∴四邊形是矩形．

②