Question

作圖題：
（1）已知直線L及L同側兩點A、B．請你在直線L上確定一點P使P到A、B兩點的距離和最小．
（2）已知直線L及L異側兩點A、B．請你在直線L上確定一點P使P到A、B兩點的距離差最大；
（3）已知如圖△ABC，①畫∠ABC和∠ACB的角平分線交于O，并判斷O到△ABC三邊的距離有什么關系？
②再畫∠BAC的平分線，結合①你能發現什么結論？
③△ABC周長為30，O到BC的距離為2，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）（2）如圖．


（3）①根據角平分線定理可以得出：O到△ABC三邊的距離相等；
②三條角平分線相交于點O；
③點O為三角形ABC的三個角平分線的交點，到三邊的距離相等，OD=2，
S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC
=（AB+AC+BC）×=30．
分析：（1）作出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B與直線l的交點就是點P，因為PA=PA′，所以求PA+PB的最大；
（2）作A關于L的對稱點A₁，連接A₁B，并延長交L于的P，P即為所求的點；PA=PA₁，P點與A，B的差PB-PA=PB-PA₁=A₁B．
下面證明A₁B是P到A、B兩點的距離差最大值：在L上取一個不同于P點的點P₁，這樣P₁A₁B就構成一三角形，P₁A₁=P₁A；
根據兩邊之差小于第三邊，有P₁A₁-P₁B＜A₁B即：P₁A-P₁B＜A₁B所以除P點外，任何一點與A，B的距離差都小于A₁B，即P點與A，B的距離差的最大值是A₁B，所以P點就是所求的點．
（3）用尺規作圖法：以角A中A點為頂點，以任意長為半徑畫圓，圓與∠A兩條邊相交點設為M，N；再分別以M，N為頂點，任意長為半徑畫圓，兩個圓在角A兩條邊之間的交點與A點連線即為∠A的角平分線．同理可以畫出其他兩角的角平分線．然后利用角平分線定理證明就行了．
點評：本問對學生運用作圖工具的能力，以及運用角平分線定理、對稱等基礎知識解決問題能力的考查．