Question

【題目】如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是： 甲：①、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點，
②、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形
乙：①、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點．
②、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形．
對于甲、乙兩人的作法，可判斷（ ）

A.甲、乙均正確
B.甲、乙均錯誤
C.甲正確、乙錯誤
D.甲錯誤，乙正確

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根據甲的思路，作出圖形如下：
連接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E為OD的中點，且OD⊥BC，
∴OE=DE= OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE= OB，
∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，
∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
又∠BOE為△AOB的外角，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，
同理∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC為等邊三角形，
故甲作法正確；
根據乙的思路，作圖如下：

連接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，
∴OD=BD=OB，
∴△BOD為等邊三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
又BC垂直平分OD，∴OM=DM，
∴BM為∠OBD的平分線，
∴∠OBM=∠DBM=30°，
又OA=OB，且∠BOD為△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，
同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC為等邊三角形，
故乙作法正確，
故選A
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．