Question

如圖，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上兩點，且△PMN是等邊三角形，求證：BM•PA=PN•BP．

Answer 1

分析：根據(jù)所證的條件分析，本題需要證明△BMP∽△PNA求解；通過證明∠B=∠APN，∠BPM=∠A，即可得出△BMP和△PNA相似．解題時要注意選擇適宜的判定定理．

解答：證明：∵△PMN為等邊三角形，
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴∠BMP=∠PNA=120°．
∵∠BPA=120°，
∴∠BPM+∠APN=60°．
在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，
∴∠B=∠NPA，
∴△BMP∽△PNA，
∴

PA

BP

=

PN

BM

，
∴BM•PA=PN•BP．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，判定兩三角形相似的方法有：
①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似；
④平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．