Question

如圖，在△PAB中，點C、D在邊AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°．
（1）試說明△APC與△PBD相似．
（2）自習課上聰聰在完成課本101頁這道習題時作出如下猜想：若CD=1，AC=x，BD=y其余條件不變，那么y與x肯定會存在某種函數關系式，請你求出這種函數關系式．
（3）明明在聰聰猜想的基礎上又作出如下猜想：若PC=PD=1，∠CPD=α，∠APB=β，只要α與β滿足某種關系，（2）中的函數關系式仍然成立．你同意明明的觀點嗎？如果你同意請直接寫出α與β所滿足的關系；若不同意，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，則∠ACP=∠BDP=120°，可證明∠A=∠BPD，從而證得△APC與△PBD；
（2）由（1）得

AC

PC

=

PD

BD

，則

x

1

=

1

y

（7分），從而得出y與x的函數關系式；
（3）根據題意仍可得出（2）中的函數關系式，則同意這種說法．

解答：解：（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD，
∴△APC∽△PBD；

（2）由（1）得

AC

PC

=

PD

BD

，
∴

x

1

=

1

y

，
∴y=

1

x

（x＞0）；

（3）同意．
2β-α=180°．

點評：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，以及函數解析式的確定，是中考壓軸題．