Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=1，P、Q分別為AD、BC上兩點，且AP=CQ，連接AQ、BP交于點E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根．
（1）求m的值；
（2）試用AP、BQ表示EF；
（3）若S_△PQE=

1

8

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根，可知AP+BQ=m，AP•BQ=n，所以AP+BQ=m=1；
（2）利用平行線等分線段定理，結合合比性質可求得

EQ

AE

=

BQ

AP

，

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，所以EF=

AP•BQ

AP+BQ

；
（3）連接QD，則EP∥QD，得：S_△AQD=

1

2

，三角形的面積公式，可知S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，所以求得S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，則可求得AP•BQ=

1

4

即n=

1

4

．

解答：解：（1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，
又∵AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根，
所以有AP+BQ=m，AP•BQ=n，
∴AP+BQ=m=1．
即m=1．

（2）∵EF∥AP，
∴

EF

AP

=

EQ

AQ

，
又∵AP∥BQ，
∴

EQ

AE

=

BQ

AP

，
∴

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，
∴

EF

AP

=

BQ

AP+BQ

，即：EF=

AP•BQ

AP+BQ

．
∵AP+BQ=1，
∴EF=AP•BQ．

（3）連接QD，則EP∥QD
得：S_△AQD=

1

2

，
且S_△AEP：S_△AQD=AP²：AD²=AP²：1=AP²，
∴S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，
∴S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，
即

1

8

：

1

2

AP²=EQ：AE=BQ：AP，
∴AP•BQ=

1

4

，即：n=

1

4

．

點評：主要考查了正方形的性質和平行線等分線段定理和根與系數的關系．要會利用一元二次方程根與系數的關系得到對應的字母的值，靈活的運用正方形的性質和平行線等分線段定理中的比例線段求對應線段的值或比例關系．