Question

在一次機器人測試中，要求機器人從A出發到達B處．如圖（1），已知點A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機器人在射線AO及其右側（AO下方）區域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側（AO上方）區域的速度為10cm/秒。
（1）分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達B處所用的時間（精確到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求機器人沿A→C→B路線到達B處所用的時間（精確到秒）；
（3）如圖（2），作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P，試說明：從A出發到達B處，機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短。（參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449）

（1）                                             （2）

Answer 1

解：（1）沿A→O→B路線行進所用時間為：600÷20+300÷10=60（秒），
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300（cm），
∴沿A→B路線行進所用時間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）；
（2）在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，
∴OC= OB=300cm，BC==300（cm），
∴AC=600-300=300（cm），
∴沿A→C→B路線行進所用時間為：
AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57（秒）；
（3）在AO上任取異于點P的一點P′，作P′E′⊥AD于E′，連結P′B，
在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，
∴EP=，E′P′=，
∴沿A→P→B路線行進所用時間為：AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10=BE（秒），
沿A→P′→B路線行進所用時間為：AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10= （E′P′+P′B）（秒），
連結BE′，則E′P′+P′B > BE′>BE，
∴BE <（E′P′+P′B），
∴沿A→P→B路線行進所用時間，小于沿A→P′→B路線行進所用時間，
即機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短。