Question

如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，對角線AC、BD相交于點P，下列結論：
①∠BAC=36°；②PB=PC；③四邊形APDE是菱形；④AP=2BP．
其中正確的結論是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：先根據正五邊形的性質求出∠ABC的度數，由等腰三角形的性質即可得出∠BAC的度數；同理可得出∠PBC=∠PCB，故可得出PB=PC；由三角形外角的性質得出∠APD的度數，再由∠EAP=∠EDP可知四邊形APDE是平行四邊形，根據AB=DE可知平行四邊形APDE是菱形．

解答：解：∵ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=（5-2）×180°÷5=108°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC）=

1

2

（180°-108°）=36°，故①正確；
同理：∠PBC=∠PCB=36°，
∴PB=PC，故②正確．
∵∠PBC=∠PCB=36°，
∴∠ABP=180°-36°=72°，∠APD=∠ABP+∠BAC=72°+36°=108°=∠E，
∠EAP=∠EDP=108°-36°=72°，
∴四邊形APDE是平行四邊形，
又∵AB=DE，
∴平行四邊形APDE是菱形，故③正確；
∵△ABP是銳角三角形，
∴AP≠2BP，故④錯誤．
故選B．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的性質及菱形的判定定理是解答此題的關鍵．