Question

如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．點P由C出發沿CA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PE∥CD？
（2）試判斷三角形PEF形狀，并請說明理由；
（3）當0＜t＜2.5時．
①在上述運動過程中，五邊形ABFPE的面積是否為定值？如果是，求出五邊形ABFPE的面積；如果不是，請說明理由；
②試求△PEQ的面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先用t表示出AE、CP、AP的長，若PE∥CD，那么△APE∽△ACD，根據相似三角形所得比例線段即可求得此時t的值．
（2）由于AD=AC，且QE∥CD，所以△AQE也是等腰三角形，即AQ=AE，由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ，進而可求得CQ=AP，同理可證得△CFQ也是等腰三角形，即CF=CQ，由此得CF=AP，已求得AE=PC，而∠DAC=∠FCP，由此可證得△FCP≌△PAE，即可證得PF=PE，即△PEF是等腰三角形．
（3）①由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面積相等，因此五邊形的面積可轉化為△ABC的面積，所以五邊形的面積是個定值；
②由（1）的相似三角形，易求得QE的表達式，分別過C、P作AB、EF的垂線CG、PH，交AB于G，交EF于H，根據等腰三角形三線合一的性質，易求得AG、BG的值，進而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值，即可根據PQ的長表示出QE邊上的高PH的值，由三角形的面積公式，可得關于△PQE的面積和t的函數關系式，根據函數的性質即可得到△PQE的最大面積，從而求得其面積的取值范圍．

解答：（本題12分）
解：（1）由題意知AE=BF=CP=t，AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
當PE∥CD時，△APE∽△ACD，
∴

t

5

=

5-t

5

，
∴t=2.5．

（2）是等腰三角形．
證明：在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP（SAS），∴PE=PF．

（3）①是定值，為12．
理由：由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC；
過C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，則CG=4；
∴S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC=

1

2

×6×4=12．
②∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴

QE

CD

=

AE

AD

，即

QE

6

=

t

5

，QE=

6t

5

；
過P作PH⊥EF于H，
由①易得：cos∠APH=cos∠ACG=

4

5

，
故PH=

4

5

PQ=

4

5

（5-2t）；
設△PEQ的面積為y，則y=

1

2

•

6

5

t•

4

5

(5-2t)=-

24

25

t2+

12

5

t=-

24

25

(t-

5

4

)2+

3

2

，
∴當t=

5

4

時，y_最大=

3

2

，
∴0＜S△PEQ≤

3

2

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的性質、等腰三角形的性質以及二次函數最值的應用等知識，綜合性強，難度較大．