Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=2

3

，△ABC腰上的高等于底邊的一半，以A為圓心的⊙A經過BC的中點D，且交AB、AC于M、N兩點，
（1）求證：BC是⊙A的切線；
（2）求

MDN

的長；
（3）求圖中陰影部分的面積（保留π）．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據題意可得出AD⊥BC，則BC是圓A的切線．      
（2）由△ABC是等腰三角形，則∠BAC=120°，由D為BC中點，則得出BD、AD，根據弧長公式得出答案；
（3）S_△ABC=

1

2

BC•AD，S_扇形MAN，則S_陰影=S_△ABC-S_扇形MAN．

解答：（1）證明：連接AD，
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC
∴BC是圓A的切線．       （3分）

（2）解：∵△ABC腰上的高等于底邊的一半
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∵BC=2

3

，D為BC中點
∴BD=

3

∴AD=1
∴

MDN

=

120π×1

180

=

2π

3

（6分）

（3）解：S_△ABC=

1

2

BC•AD=

3

S_扇形MAN=

120π×1

360

2=

π

3

∴S_陰影=S_△ABC-S_扇形MAN=

3

-

π

3

（10分）

點評：本題考查了弧長的計算、扇形面積的計算，要熟練掌握公式是解此題的關鍵．