Question

如圖，菱形ABCD中，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，作CF⊥AD，交AD的延長線于點F．
（1）求證：△CBE≌△CDF；
（2）若∠CAE=30°，CE=3，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需根據菱形的性質和直角三角形全等的判定方法即可證出結論．
（2）本題需利用解直角三角形求出菱形的邊長，再根據菱形的面積公式即可求出結果．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠CBE=∠CDF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB=∠CFD=90°，
∴△CBE≌△CDF；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=2∠CAE=60°，BC∥AD，
∴∠CBE=∠BAD=60°，
∵sin∠CBE=，
∴BC=，
∴S_菱形ABCD=AB×CE=BC×CE=．
點評：本題主要考查了菱形的性質，解題時要注意解直角三角形和三角形全等的判定的綜合應用．