Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連接AD．
（1）求證：PA=PD；
（2）求證：P是線段AF的中點．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA可得出∠DAC=∠DBA再由直角三角形的性質即可得出答案；
（2）首先得出∠ADB=90°，再根據∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF．

解答：（1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，即PA=PD；

（2）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點．

點評：本題考查的是圓周角定理和等腰三角形的性質，根據證明PD=PA以及PD=PF得出答案是解決問題的關鍵．