Question

如圖，點為軸正半軸上一點，兩點關于軸對稱，過點任作直線交拋物線于，兩點.

（Ⅰ）求證：∠=∠；

（Ⅱ）若點的坐標為（0，1），且∠=60º，試求所有滿足條件的直線的函數解析式.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，分別過點作軸的垂線，垂足分別為.

設點的坐標為（0，），則點的坐標為（0，-）.

設直線的函數解析式為,

并設的坐標分別為 ,.

由  得，

于是 ，即 .于是，

  …………5分

又因為，所以.

    因為∠∠，所以△∽△.

    故∠=∠.     …………………………………………………………10分

（Ⅱ）解法一   設，，不妨設≥>0，

由（Ⅰ）可知

∠=∠，=，=，  

所以 =，=.

因為∥，所以△∽△.

于是，即．所以．

由（Ⅰ）中，即，所以

于是，可求得 .

將代入，得到點的坐標（，）.     …………………15分

再將點的坐標代入，求得 .

所以直線的函數解析式為.

根據對稱性知，

所求直線的函數解析式為，或. ………………20分

解法二  設直線的函數解析式為,其中.

由（Ⅰ）可知，∠=∠，所以.

故 .

將代入上式，平方并整理得

，即.

所以 或.

又由（Ⅰ），得，.

若代入上式得  從而 .

同理，若 可得 從而 .

所以，直線的函數解析式為

，或. ………………………………………20分