Question

10．已知a、b均為有理數(shù)，且關(guān)于x的方程為$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1．
（1）當(dāng)a=4，b=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求x的值；
（2）若關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解．
①求a、b的值；
②設(shè)線段AB=a，CD=b，線段CD在直線AB上（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且M、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，若BC=4，求MN的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=4，b=-$\frac{1}{2}$代入得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得x；
（2）①由$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1可得（a-8）x=-8|b|-ab+96，根據(jù)關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，可得a-8=0，-8|b|-ab+96=0，解方程即可求解；
②分三種情況：點(diǎn)C、D都在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，線段CD在線段AB上時(shí)；點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)；點(diǎn)C、D都在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)；進(jìn)行討論可求MN的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=4，b=-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程變?yōu)?\frac{4x-2}{96}$=$\frac{x-\frac{1}{2}}{12}$+1，
化簡(jiǎn)，得$\frac{2x-1}{48}$=$\frac{2x-1}{24}$+1，
去分母，得2x-1=4x-2+48，
-2x=47，
x=-$\frac{47}{2}$；
（2）①去分母，得ax+ab=8x-8|b|+96，
（a-8）x=-8|b|-ab+96，
∵關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，
∴a-8=0，-8|b|-ab+96=0，
解得a=8，
則-8|b|-8b+96=0，
當(dāng)b≥0時(shí)，得-16b+96=0，
解得b=6，
當(dāng)b＜0時(shí)，得8b-8b+96=0，無(wú)解．
綜上可知，a=8，b=6．
②依題意有AB=8，CD=6，
當(dāng)點(diǎn)C、D都在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，線段CD在線段AB上時(shí)，這三種情況均有BC＞CD，不合題意；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖所示：
，
有BC＜CD，符合題意；
∵BC=4，CD=6，
∴BD=2，
∵N是線段BD的中點(diǎn)，
∴BN=1，
∴CN=CB+BN=4+1=5，
∵AB=8，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴MN=CM+CN=2+5=7；
當(dāng)點(diǎn)C、D都在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，符合題意，如圖所示：
；
則AC=AB+BC=8+4=12，BD=BC+CD=4+6=10，
∵M(jìn)、N分別是線段AC、BD的中點(diǎn)，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=6，BN=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴MN=CM+BN-BC=6+5-4=7．
綜上所述，MN的值為7．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的解，在未畫(huà)圖類(lèi)問(wèn)題中，正確畫(huà)圖很重要．本題滲透了分類(lèi)討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．