Question

【題目】拋物線m：y=x2﹣2x+2與直線l：y=x+2交于A，B（A在B的左側），且拋物線頂點為C．

（1）求A，B，C坐標；

（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC下方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積．

（3）將拋物線m：y=x2﹣2x+2沿直線OC方向平移得拋物線m′，與直線l：y=x+2交于A′，B′，問在平移過程中線段A′B′的長度是否發生變化，請通過計算說明．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2），B（3，5），C（1，1）；（2）D（， ）；（3）A′B′的長度為定值，理由見解析

【解析】試題分析：（1）利用配方法得到y=（x﹣1）2+1，從而可得到點C的坐標，然后將y=x2﹣2x+2與y=x+2可求得點A和點B的坐標；

（2）過點D作DE∥y軸，交拋物線與點P．先求得直線AC的解析式，設點D的坐標為（m，m2﹣2m+2），則點P的坐標為（m，﹣m+2），則PD=﹣m2+m，然后依據S△ACD=S△APD+S△CPD的到△ACD的面積與m的函數關系式，最后，利用配方法可求解即可．

（3）過點A′作A′M⊥x軸，垂足為M，B′N⊥x軸，垂足為N，作A′G⊥B′N，垂足為G，則A′B′=A′G，設平移后拋物線的解析式為y=（x﹣a）2+a．A′（x1，y1）B′（x2，y2），依據完全平方公式得到A′G=．由將y=x+2代入y=（x﹣a）2+a得到關于x的方程，依據一元二次方程根與系數的關系可得到x2+x1=2a+1，x2x1=a2+a+2，從而可求得A′G的長，最后可得到A′B′的長．

試題解析：（1）∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴C（1，1），

將y=x2﹣2x+2與y=x+2聯立得： ，解得： 或，

∴A（0，2），B（3，5）；

（2）如圖1所示：過點D作DE∥y軸，交拋物線與點P．

設AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標代入得： ，解得k=﹣1，b=2，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+2，

設點D的坐標為（m，m2﹣2m+2），則點P的坐標為（m，﹣m+2），則PD=（﹣m+2）﹣（m2﹣2m+2）=﹣m2+m．

S△ACD=S△APD+S△CPD=×1DP=（﹣m2+m）=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，△ACD的面積有最大值，最大值為，

此點D的坐標為（， ）；

（3）如圖2所示：過點A′作A′M⊥x軸，垂足為M，B′N⊥x軸，垂足為N，作A′G⊥B′N，垂足為G，則A′B′=A′G，

設OC的解析式為y=kx，將點C的坐標代入得到k=1，則OC的解析式為y=x，

設平移后拋物線的解析式為y=（x﹣a）2+a，

設A′（x1，y1）B′（x2，y2），則A′G=|x2﹣x1|= ，

將y=x+2代入y=（x﹣a）2+a得：x2﹣（2a+1）x+a2+a+2=0，

∴x2+x1=2a+1，x2x1=a2+a+2．

∴A′G= =3，

∴A′B′=3 ，

∴A′B′的長度為定值．