Question

如圖所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一點，PE⊥BD于點E，PE⊥AC于點F，下列結論：
①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE²+AF²=BP²．
其中結論正確的序號是（　　）

A．只有①②③

B．只有①③④

C．只有②④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根據等角對等邊可得DC=DB，從而判斷①正確；沒有條件說明∠C的度數，判斷出②錯誤；連接PD，利用△BCD的面積列式求解即可得到PE+PF=AB，判斷出③正確；過點B作BG∥AC交FP的延長線于G，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四邊形ABGF是矩形，根據矩形的對邊相等可得AF=BG，根據然后利用“角角邊”證明△BPE和△BPG全等，根據全等三角形對應邊相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判斷④正確．

解答：解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正確；
無法說明∠C=30°，故②錯誤；
連接PD，則S_△BCD=

1

2

BD•PE+

1

2

DC•PF=

1

2

DC•AB，
∴PE+PF=AB，故③正確；
過點B作BG∥AC交FP的延長線于G，
則∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四邊形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，

∠PBG=∠DBC ∠G=∠BEP=90° PB=PB

，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE²+BE²=BP²，
即PE²+AF²=BP²，故④正確．
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選B．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，勾股定理的應用，作輔助線構造出矩形和全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．