Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A（0，6），B（8，0）．
（1）直接寫出AB的長；
（2）點P（x，0）為線段OB上一動點（點O、B除外），過點P作PQ∥OA交AB于點Q．
①若以線段PQ為直徑的⊙M與y軸相切，求點P的坐標；
②把△BPQ沿直線PQ向左側翻折疊到△CPQ，若△CPQ與梯形OPQA重疊部分的面積為s，求s關于x的函數關系式，并求當x為何值時，s的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩點間的距離公式可以求得線段AB的長度；
（2）①由平行線分線段成比例知=，即=；再由圓的切線的性質可以推知PQ=OP，即×（6-x）=x，則以求x的值；
②分類討論：如圖2，當0＜x＜4時，△CPQ與梯形OPQA重疊的部分是梯形OPQD，根據梯形的面積公式來計算重疊部分的面積即可；
如圖3，當4≤x＜8時，△CPQ與梯形OPQA重疊部分是△CPQ，根據三角形的面積公式計算重疊部分的面積即可．
解答：解：（1）∵A（0，6），B（8，0）．
∴AB==10；

（2）①如圖1，由題意知，OP=x，則BP=8-x．
∵PQ∥OA，
∴=，即=，
解得，PQ=6-x．
當以線段PQ為直徑的⊙M與y軸相切時，PQ=OP，
∴PQ=OP，即×（6-x）=x，
解得，x=，
則點P的坐標是（，0）；

②如圖2，當0＜x＜4時，∵△CPQ與梯形OPQA重疊的部分是梯形OPQD，則BP=CP=8-x，
∴OC=CP-OP=8-2x．
∵OD∥PQ，
∴=，即=，
解得，OD=6-x，
∴s=×（OD+PQ）×OP
=×（6-x+6-x）x
=-x²+6x
=-（x-）²+8．
∵x=滿足題意，
∴當x=時，s的值最大為8；
如圖3，當4≤x＜8時，△CPQ與梯形OPQA重疊部分是△CPQ，則
PC=BP=8-x，
∴s=PC•PQ=（8-x）×（6-x）=（x-8）²．
∵該拋物線的開口方向向上，
∴當4≤x＜8時，y隨x的增大而減小，
∴當x=4是，s的值最大，最大值為6．
綜上所述，s關于x的函數關系式為：s=-x²+6x（0＜x＜4）；
s=（x-8）²（4≤x＜8）；
且當x=時，s的最大值是8．
點評：本題綜合考查了兩點間的距離公式，一次函數圖象上點的坐標特征，平行線分線段成比例以及三角形、梯形面積的計算．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解．另外，注意數形結合數學思想在解題過程中的運用．