Question

如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，

（1）求a和b的值；
（2）若△A′B′C′與△ABC開始時完全重合，然后讓△ABC固定不動，將△A′B′C′沿BC所在的直線向左移動x厘米．
①設△A′B′C′與△ABC有重疊部分，其面積為y平方厘米，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②若重疊部分的面積等于平方厘米，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據一元二次方程根與系數的關系，得出用含m的式子表示a+b與ab的式子，然后由勾股定理得出一個關于m的方程，求出m的值，進而得出a和b的值；
（2）①由于S_△BC'M=×BC′×C'M，即y=x×C'M．所以首先用含x的代數式表示C'M，然后代入，即可求出y與x之間的函數關系式，并根據題意求出x的取值范圍；
②把y=代入函數解析式，即可求出x的值．
解答：解：（1）∵a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，
∴a+b=m-1，ab=m+4，
又∵a、b是直角△ABC的兩直角邊，
∴a²+b²=c²=25，
∴（m-1）²-2（m+4）=25，
解得m₁=8，m₂=-4（舍去）．
∴原方程為x²-7x+12=0，
解得a=4，b=3．

（2）由題意得，BC'：C'M=BC：AC，
∵BC'=4-x，故可得C'M=（4-x），
①y與x之間的函數關系式為：
y=（4-x）²，（0≤x≤4）．
②代入=（4-x）²，
得x₁=3，x₂=5（舍去）．
∴x的值為3．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，勾股定理，三角形的面積公式等．在判斷所求的解是否符合題意時，應舍去不合題意的解．