Question

若四邊形的兩條對角線相等，則順次連結各邊中點所得的四邊形是（　　）

A．梯形

B．正方形

C．矩形

D．菱形

Answer 1

分析：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是菱形，理由為：根據題意畫出四邊形ABCD，E，F，G，H分別為各邊的中點，寫出已知，求證，由E，H分別為AB，AD的中點，得到EH為三角形ABD的中位線，根據三角形的中位線定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH與FG平行且相等，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得出EFGH為平行四邊形，再由EF為三角形ABC的中位線，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得證．

解答：解：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是菱形，
如圖所示：

已知：E，F，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點，且AC=BD，
求證：四邊形EFGH為菱形，
證明：∵E，F，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點，
∴EH為△ABD的中位線，FG為△CBD的中位線，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又EF為△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

AC，又EH=

1

2

BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．
故選D

點評：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，以及菱形的判定，利用了數形結合及等量代換的思想，靈活運用三角形中位線定理是解本題的關鍵．