Question

8．如圖，在平面直角坐標系中xOy，二次函數y=ax²-2ax+3的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，AB=4，動點P從B點出發，沿x軸負方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線BC，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（t＞0），△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）求這個二次函數的關系式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）將△BPQ繞點P逆時針旋轉90°，當旋轉后的△BPQ與二次函數的圖象有公共點時，求t的取值范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）首先根據公式求得函數的對稱軸，然后根據AB的長即可求得A和B的坐標，代入解析式即可求得a的值，則函數的解析式即可求得；
（2）分成0＜t≤4，4＜t＜6和t≥6三種情況進行討論，根據△BPQ是等腰直角三角形，以及三角形的面積公式即可求得；
（3）將△PBQ逆時針旋轉90°，則過Q′作Q′D⊥x軸于點D，則△DPQ′是等腰直角三角形，利用t表示出Q′和P′的坐標，代入函數解析式即可確定t的值，則t的范圍即可求得．

解答 解：（1）由y=ax²-2ax+3可得拋物線的對稱軸為x=1．
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把（-1，0）代入解析式，得a-2a+3=0，
解得：a=-1．
∴函數的解析式是：y=-x²+2x+3；
（2）由題意可知，BP=t，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC．∴∠PBQ=45°．
∵PQ⊥BC，
∴PQ=QB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$．
∵C的坐標是（0，3），B的坐標是（0，3），
∴OC=BC，
∴△OBC是等腰直角三角形．
①當0＜t≤4時，P在線段AB上，此時Q在BC上，△PBQ是等腰直角三角形，且△ABC和△BPQ的重合部分就是△BPQ．
在等腰直角△BPQ中，PB=t，則BQ=PQ=PB•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{4}$t²；
②當4＜t＜6時，
設PQ與AC交于點D，作DE⊥AB于點E，則DE=PE．
∵tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}=\frac{OC}{OA}$=3．
∴DE=PE=3AE=$\frac{3}{2}PA$．
∵PA=t-4，
∴DE=$\frac{3}{2}（t-4）$．
∴${S_{△PAD}}=\frac{3}{4}{t^2}-6t+12$．
∵S=S_△PBQ-S_△PAD，
∴$S=-\frac{1}{2}{t^2}+6t-12$；
③當t≥6時，S=S_△ABC=6；
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+6t-12（4＜t＜6）}\\{6（t≥6）}\end{array}\right.$；
（3）將△PBQ逆時針旋轉90°，則過Q′作Q′D⊥x軸于點D，則△DPQ′是等腰直角三角形，如圖（3）．
則PQ′=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，DQ′=DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\frac{1}{2}$t．
則Q′的坐標是（3-$\frac{3}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），B′的坐標是（3-t，t）．
當Q′在函數圖象上時，代入解析式得：-（3-$\frac{3}{2}$t）²+2（3-$\frac{3}{2}$t）+3=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=$\frac{22}{9}$或0（舍去）．
當B′在函數圖象上時，-（3-t）²+2（3-t）+3=t，
解得：t=3．
所以Q′首先與拋物線相交，當t＞4時，P在A的左邊，沒有交點．
則t的范圍是：$\frac{22}{9}$≤t≤4．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，注意到將△PBQ逆時針旋轉90°后，過Q′作Q′D⊥x軸于點D，則△DPQ′是等腰直角三角形是解決本題的關鍵．