Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），點B（0，3），點P從點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ．若設運動的時間為t秒（0＜t＜2）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）設△AQP的面積為y，求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）y＝﹣t2+3t；（3）不存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分，理由見解析；（4）存在某一時刻t，使四邊形PQP'O為菱形，點Q的坐標是(),菱形PQP′O的邊長為．

【解析】

（1）已知了A、B兩點的坐標，可用待定系數法求出直線AB的解析式．
（2）三角形APQ中，底邊AQ的長易知，關鍵是求P點縱坐標的值；過P作PM⊥OA于M，通過構建的相似三角形得出的成比例線段，可求出PM的長．進而可根據三角形的面積公式求出y，t的函數關系式．
（3）可用分析法求解．先假設存在這樣的t值，由于此時PQ將三角形ABO的周長平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，據此可求出t的值，然后將t的值，代入（2）的函數關系式中，看此時三角形APQ的面積是否等于三角形AOB的面積的一半即可．
（4）如果四邊形OPQP′是菱形，那么需要滿足的條件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此時QM=OQ，可借助OA的長來求t的值．過P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表達式，也就求出了QM，MO的表達式，可根據OA=OM+QM+AQ來求出此時t的值．進而可求出菱形的邊長．

（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴

解得，

∴直線AB的解析式是．

（2）在Rt△AOB中，AB＝＝5，

依題意，得BP＝t，AP＝5﹣t，AQ＝2t，

過點P作PM⊥AO于M，

∵△APM∽△ABO，

∴，

∴，

∴PM＝3﹣t，

∴y＝AQPM＝2t（3﹣t）＝﹣t2+3t．

（3）不存在某一時刻，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分，

若PQ把△AOB周長平分，則AP+AQ＝BP+BO+OQ，

∴（5﹣t）+2t＝t+3+（4﹣2t），

解得t＝1．

若PQ把△AOB面積平分，則S△APQ＝S△AOB，

∴﹣t2+3t＝3，

∵t＝1代入上面方程不成立，

∴不存在某一時刻t，使線段PQ把△AOB的周長和面積同時平分．

（4）存在某一時刻t，使四邊形PQP'O為菱形，

過點P作PN⊥BO于N，

若四邊形PQP′O是菱形，則有PQ＝PO，

∵PM⊥AO于M，

∴QM＝OM，

∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，

∴，

∴，

∴PN＝t，

∴QM＝OM＝t，

∴t+t+2t＝4，

∴t＝，

∴當t＝時，四邊形PQP′O是菱形，

∴OQ＝4﹣2t＝，

∴點Q的坐標是（，0）．

∵PM＝3﹣t＝，OM＝t＝，

在Rt△PMO中，PO＝＝＝，

∴菱形PQP′O的邊長為．