Question

已知：關于x的一元二次方程x²-（2+m）x+1+m=0，
①求證：方程有兩個實數根；
②設m＜0，且方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是關于m的函數，且，求這個函數的解析式；
③在②的條件下，利用函數圖象求關于m的方程y+m-3=0的解．

Answer 1

【答案】分析：①根據一元二次方程的根的判別式△≥0來證明即可，
②先求出方程的兩根，然后代入函數式即可．
③在②的條件下把y代入方程y+m-3=0即可求得答案．
解答：解：①△=（-1）²（2+m）²-4×1×（1+m）=m²≥0，
∴方程有兩個實數根；

②∵方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
∴x=，
解得x₁=1+m，x₂=1，
∴y==-，
∴這個函數的解析式為y=-．

③y+m-3=0，
∴-+m-3=0，
化簡得：m²-3m-4=0，
∴m₁=-1，m₂=4，
又∵m＜0，
∴m=-1．
點評：本題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
同時重點考查了函數和方程的解，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．