Question

如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=40°，∠APD=65°。

（1）求∠B的大小：
（2）已知圓心0到BD的距離為3，求AD的長。

Answer 1

（1）證明略
（2）AD=2OE=6

解析考點：圓周角定理；三角形內角和定理；三角形中位線定理．
分析：（1）由同弧所對的圓周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根據平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依據三角形內角和定理求∠B即可；
（2）過點O作OE⊥BD于點E，則OE=3．根據直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定知OE∥AD；又由O是直徑AB的半徑可以判定O是AB的中點，由此可以判定OE是△ABD的中位線；最后根據三角形的中位線定理計算AD的長度．
解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所對的圓周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=65°，
∴∠BPD=115°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°；
（2）過點O作OE⊥BD于點E，則OE=3．
∵AB是直徑，
∴AD⊥BD（直徑所對的圓周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中點，
∴OE是△ABD的中位線，
∴AD=2OE=6．