Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，ABCO的頂點A，B坐標分別是（6，0），（0，4）．動點P在直線OD解析式為y＝x上運動．

（1）若反比例函數y＝圖象過C點，則m＝_____．

（2）證明：OD⊥AB；

（3）當以點P為圓心、PB長為半徑的⊙P隨點P運動⊙P與ABCO的邊所在直線相切時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）﹣24；（2）見解析；（3）滿足條件的P的坐標為（0，0）或（，2）或（6﹣2，9﹣3）．

【解析】

（1）先求出C點的坐標，根據反比例函數y＝圖象過C點，代入即可解得m的值；

（2）先求出D點的坐標，D（，），根據OD2+BD2＝OB2，構建直角三角形的三邊滿足勾股定理，可得OD⊥AB；

（3）本問分4種情況進行討論，分別是①當⊙P與BC相切時；②當⊙P與OC相切時；③當⊙P與OA相切時；④當⊙P與AB相切時，可根據這4種情況求出點P的坐標.

（1）解：∵A（6，0），B（0，4），

∴OA＝6，OB＝4，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴BC＝OA＝6，

∴C（﹣6，4）．

∵反比例函數y＝圖象過C點，

∴m＝﹣24，

故答案為﹣24．

（2）證明：∵A（6，0），B（0，4），

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4，

由解得，

∴D（，），

∴BD2＝（）2+（4﹣）2＝，OD2＝（）2+（）2＝，

∵OD2+BD2＝＝16＝OB2，

∴∠ODB＝90°，

∴OD⊥AB．

（3）解：∵OP⊥AB，AB∥OC

∴OP⊥OC，設P（x，x）

①當⊙P與BC相切時，∵動點P在直線y＝x上，

∴P與O重合，此時圓心P到BC的距離為OB，

∴P（0，0）．

②如圖1中，當⊙P與OC相切時，則OP＝BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y軸于E，則EB＝EO，易知P的縱坐標為2，可得P（，2）．

③如圖2中，當⊙P與OA相切時，則點P到點B的距離與點P到x軸的距離相等，可得，

解得x＝6+2或6﹣2，

∵x＝6＝2＞OA，

∴⊙P不會與OA相切，

∴x＝6＝2不合題意，

∴P（6﹣2，9﹣3）．

④如圖3中，當⊙P與AB相切時，設線段AB與直線OP的交點為G，此時PB＝PG，

∵OP⊥AB，

∴∠BGP＝∠PBG＝90°不成立，

∴此種情形，不存在P．

綜上所述，滿足條件的P的坐標為（0，0）或（，2）或（6﹣2，9﹣3）．