Question

（2007•宿遷）如圖，已知AE、BD相交于點C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分別是DC、CE、AB的中點．
求證：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AF，BG．根據等腰三角形的三線合一得到直角三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行證明；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到FH=BH，則∠HFB=∠FBH，同理∠AGH=∠GAH，則∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．從而證明結論．
解答：證明：（1）連接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分別是DC、CE的中點，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜邊AB中點，
∴FH=AB．
同理得HG=AB，
∴FH=HG．

（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD，
=180°-2∠ADB，
=180°-2（∠BFH+∠AGH），
=180°-2∠BFH-2∠AGH，
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根據平角的定義可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．
點評：此題綜合運用了三角形的中位線定理、直角三角形的性質和等腰三角形的性質．