Question

在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝－x＋3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點P從點B出發沿BA向終點A運動，同時動點Q從點O出發沿OB向點B運動，到達點B后立刻以原來的速度沿BO返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點A時停止運動，點Q也同時停止．連結PQ，設運動時間為t(t>0)秒．
(1)求點P的坐標（用含t的代數式表示）；
(2)當點Q從點O向點B運動時(未到達點B)，是否存在實數t，使得△BPQ的面積大于17若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(3)伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為直線l．是否存在t的值，使得直線l經過點O?若存在，請求出所有t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）P（，﹣x+3）；
（2）不存在實數t，使得△BPQ的面積大于17；
（3），t=或時，O在l的垂直平分線上．

解析試題分析：（1）表示邊長首要就是表示出來，根據函數性質及線段成比例等性質易表示出，PD，PC的長，即得坐標；
（2）討論面積一般是計算底和高，然后表示出面積解析式，進而根據二次函數性質討論最值或范圍．而第一問求得OA=3，OB=4，易得S_△AOB僅為6，而S_△BQP≤S_△AOB，所以定不存在實數t，使得面積大于17；
（3）垂直平分線上的點到兩邊距離相等，利用這個性質，我們只要表示出OP，和OQ即可．但討論時注意Q點的運動時個往返的過程，要有兩種情形．
試題解析：（1）如圖，過點P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．

∵y=﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴，
∵BP=t，
∴，
∴．
∵由點P過AB，
∴將x=代入y=﹣x+3，得y=﹣x+3，
∴P（，﹣x+3）；
（2）不存在實數t，使得△BPQ的面積大于17．
∵Q、P在OB、OA上運動，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=OA·OB==6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在實數t，使得△BPQ的面積大于17；
（3）∵P（，﹣x+3），
∴OC=，PC=﹣x+3，
∴OP²=（）²+（﹣x+3）²，
∵O在l的垂直平分線上，
∴OP=OQ．
①當0＜t≤3時，OP=t，則t²=（）²+（﹣t+3）²，解得 t=，符合要求．
②當3＜t≤5時，
∵BQ=t﹣3，
∴OQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，
∴（6﹣t）²=（）²+（﹣t+3）²
解得 t=，符合要求．
綜上所述，t=或時，O在l的垂直平分線上．
考點：一次函數綜合題．