Question

如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙O₁和△BCH的外接圓⊙O₂相交于點D，延長AD交CH于點P，
求證：點P為CH的中點．

Answer 1

【答案】分析：延長AP交⊙O₂于點Q，連接AH，BD，QB，QC，QH，由AB為⊙O₁的直徑，得∠ADB=∠BDQ=90°，從而可知BQ為⊙O₂的直徑，由圓周角定理得CQ⊥BC，BH⊥HQ，又H為△ABC的垂心，由垂心的定義得AH⊥BC，BH⊥AC，可推出AH∥CQ，AC∥HQ，證明四邊形ACQH為平行四邊形，利用平行四邊形的性質證明結論．
解答：證明：如圖，延長AP交⊙O₂于點Q，
連接AH，BD，QB，QC，QH．
因為AB為⊙O₁的直徑，
所以∠ADB=∠BDQ=90°．（5分）
故BQ為⊙O₂的直徑．
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）
又因為點H為△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．
所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四邊形ACQH為平行四邊形．（15分）
所以點P為CH的中點．（20分）
點評：本題考查了三角形的垂心的性質，圓周角定理，平行四邊形的判定與性質．關鍵是利用平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，構造平行四邊形證明結論．