Question

如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)（E與A，D不重合），G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)．
（1）證明：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下，若EF⊥BC，且EF=

1

2

BC，證明：平行四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

證明：（1）∵G，F(xiàn)分別是BE，BC的中點(diǎn)，
∴GF∥EC且GF=

1

2

EC．
又∵H是EC的中點(diǎn)，EH=

1

2

EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）連接GH，EF．
∵G，H分別是BE，EC的中點(diǎn)，
∴GH∥BC且GH=

1

2

BC．
又∵EF⊥BC且EF=

1

2

BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位線，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四邊形EGFH是正方形．