Question

如圖，在△ABC中，E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，連接GE、GF，BD是AC邊上的高，連接DE、DF．
（1）試判斷四邊形BFGE是怎樣的特殊四邊形？證明你的結論；
（2）求證：∠EDF=∠EGF．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形BFGE是平行四邊形，由于E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，可以得到EG、GF是△ABC的中位線，然后利用中位線的性質即可證明四邊形BFGE是平行四邊形；
（2）由四邊形BFGE是平行四邊形可以得到∠ABC=∠EGF，又BD是AC邊上的高，得到∠ADB=∠BDC=90°，又由E、F分別是AB、BC邊的中點得到DE=BE=AB、DF=BF=BC，然后利用等腰三角形的性質即可證明題目的結論．
解答：解：（1）四邊形BFGE是平行四邊形，
∵E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，∴EG、GF是△ABC的中位線，
∴EG∥BC、GF∥AB，
∴四邊形BFGE是平行四邊形；

（2）∵四邊形BFGE是平行四邊形，
∴∠ABC=∠EGF（6分）
∵BD是AC邊上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°
又∵E、F分別是AB、BC邊的中點，
∴DE=BE=AB，DF=BF=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）
∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，
∴∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF=∠EGF（10分）．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定、三角形的中位線的性質，解題時首先利用中位線的性質證明平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質和直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題．