Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖甲擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如圖乙，△DEF從圖甲的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△DEF的頂點F出發，以3cm/s的速度沿FD向點D勻速移動．當點P移動到點D時，P點停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接BQ、PQ，設移動時間為t（s）．解答下列問題：
（1）設三角形BQE的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）當t為何值時，三角形DPQ為等腰三角形？
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、B三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，則BE=BC-CE=9-t；則△BQE的面積y=

1

2

BE•QE（0＜t≤

10

3

）；
（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=

3

5

，sin∠D=

4

5

；在Rt△PDG中，通過sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，
那么GQ=DQ-DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ²．若△DPQ為等腰三角形時，分三種情況：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③當DQ=PQ時；
（3）①當t=0時，點B、P、Q在同一條直線上；
②當B、Q、P在同一直線上時，過點P作DE的垂線，垂足為G，則PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的對應邊成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6-t，所以求得GQ=DQ-DG的值，根據平行線的判定定理知GP∥BE，可證△GPQ∽△QBE，所以，
GP：BE=GQ：EQ，從而解得t=

1

2

，點B、Q、P在同一直線上．

解答：解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，
∴∠EQC=45°．
∴EC=EQ=t，
∴BE=9-t．
∴y=

1

2

BE•EQ=

1

2

(9-t)t，（2分）
即：y=-

1

2

t2+

9

2

t（0＜t≤

10

3

）（1分）

（2）①當DQ=DP時，∴6-t=10-3t，解得：t=2s．（2分）
②當PQ=PD時，過P作PH⊥DQ，交DE于點H，
則DH=HQ=

6-t

2

，由HP∥EF，
∴

DH

DE

=

DP

DF

則

6-t 2

6

=

10-3t

10

，解得t=

30

13

s（2分）
③當QP=QD時，過Q作QG⊥DP，交DP于點G，
則GD=GP=

10-3t

2

，可得：△DQG∽△DFE，
∴

DG

DE

=

DQ

DF

，則

10-3t 2

6

=

6-t

10

，
解得t=

14

9

s（2分）

（3）假設存在某一時刻t，
使點P、Q、B三點在同一條直線上．
則，過P作PI⊥BF，交BF于點I，
∴PI∥DE，
于是：

PI

DE

=

FP

FD

，
∴PI=

9

5

t，FI=

12

5

t，
∴

QE

PI

=

BE

BI

，則

t

9 5 t

=

9-t

9-t+8- 12 5 t

，
解得：t=

1

2

s．
答：當t=

1

2

s，點P、Q、B三點在同一條直線上．（3分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線分線段成比例．解答（2）題時，需注意分類討論，全面考慮等腰三角形的腰與底的各種情況．