Question

（2013•安溪縣質檢）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按圖（a）擺放，點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如圖（b），△DEF從圖（a）的位置出發，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC勻速移動，點P同時從點B出發，以2厘米/秒的速度沿BA向點A勻速移動．當△DEF的頂點D移動到AC邊上時移動即停止．記DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上；
（2）當t為何值時，△APQ與△ABC相似；
（3）當t為何值時，點P、Q、F在同一直線上．

Answer 1

分析：（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；
（2）需要分類討論：△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況，由相似三角形的對應邊成比例列出相應的比例式，把相關線段的長度代入，易求t的值；
（3）過P作PN⊥AC于N，構建相似三角形：△PAN∽△BAC，則相似三角形的對應邊成比例，即

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，所以易得NQ=AQ-AN=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t．連結QF，當點P、Q、F在同一直線上時，△QCF∽△QNP，則

PN

FC

=

NQ

CQ

，即

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，由此可以求得t的值．

解答：解：（1）依題意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=8-t，AB=

BC2+AC2

=10．
∵BP=2t，
∴AP=10-2t．
當點A在線段PQ的垂直平分線上時，AP=AQ，
∴10-2t=8-t，解得t=2，
即當t=2時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）∵∠ACB=90°，
∴當∠AQP=90°即△APQ∽△ABC時，

AQ

AP

=

AC

AB

，∴

8-t

10-2t

=

4

5

，解得t=0（舍去）；
當∠APQ=90°即△APQ∽△ACB時，

AP

AQ

=

AC

AB

，∴

10-2t

8-t

=

4

5

，解得t=3，
∴當t=3時，△APQ與△ABC相似；

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上；
過P作PN⊥AC于N，∴△PAN∽△BAC，
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，即

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t，
∴NQ=AQ-AN=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t．
∵點P、Q、F在同一直線上，
∴△QCF∽△QNP，
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，
解得t=1
∴當t=1時，P、Q、F三點在同一直線上．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、二次函數的最值、特殊圖形的面積的求法等知識，圖形較復雜，考查學生數形結合的能力，綜合性強，難度較大．