Question

（2006•河北區一模）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為AB上的一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交AC于點F
（I）當點P在線段AB上時，（如圖1），求證：PA•PB=PE•PF；
（II）當點P為線段BA的延長線上一點時（如圖2），第（1）的結論還成立嗎？如果成立請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圓周角、弦切角間的關系證明△APF∽△BPE，根據成比例線段證明 PA•PB=PE•PF 成立．
（Ⅱ）當點P在線段BA的延長線上時，（Ⅰ）的結論仍成立．先證明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根據成比例線段證明 PA•PB=PE•PF 成立．

解答：（Ⅰ）證明：如圖1，∵EB為⊙O的切線，
∴∠ACB=∠ABE，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠ACB，故∠AFP=∠ABE．
由于∠APF=∠EPB，∴△APF∽△BPE，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．

（Ⅱ）如圖2，當點P在線段BA的延長線上時，（Ⅰ）的結論仍成立．
∵EB為⊙O的切線，
∴∠ACB=∠ABT，
∵EF∥BC，
∴∠ACB=∠ABT=∠AFP，
∴∠AFP=∠PBE．
再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．

點評：本題主要考查圓的相交弦及切線的性質，用三角形全等證明線段間的關系，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．