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(2010•荊門)如圖,圓O的直徑為5,在圓O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P,已知BC:CA=4:3,點P在半圓弧AB上運動(不與A、B重合),過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.
(1)求證:AC•CD=PC•BC;
(2)當點P運動到AB弧中點時,求CD的長;
(3)當點P運動到什么位置時,△PCD的面積最大?并求這個最大面積S.

【答案】分析:(1)由圓周角定理知∠A=∠P,而∠ACB=∠PCD=90°,故有△ABC∽△PCD??AC•CD=PC•BC;
(2)當點P運動到AB弧中點時,過點B作BE⊥PC于點E.由題意知∠PCB=45°,CE=BE,而又∠CAB=∠CPB,得tan∠CPB=tan∠CAB=.代入數值可求得PE的值,從而PC=PE+EC,由(1)知CD=PC,即可求出;
(3)由題意知,S△PCD=PC•CD.由(1)可知,CD=PC.有S△PCD=PC2.故PC最大時,S△PCD取得最大值;而PC為直徑時最大,故可求解.
解答:(1)證明:∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°.
又∵PC⊥CD,
∴∠PCD=90°.
而∠CAB=∠CPD,
∴△ABC∽△PDC.

∴AC•CD=PC•BC;(3分)

(2)解:當點P運動到AB弧中點時,過點B作BE⊥PC于點E.
∵AB為直徑,AB=5,BC:CA=4:3,
∴BC=4.
∵P是的中點,
∴∠PCB=45°,
∴CE=BE=BC=2
又∠CAB=∠CPB,
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
∴PE===
從而PC=PE+EC=
由(1)得CD=PC=(7分)

(3)解:當點P在AB上運動時,S△PCD=PC•CD.由(1)可知,CD=PC.
∴S△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC2.故PC最大時,S△PCD取得最大值;
而PC為直徑時最大,
∴S△PCD的最大值S=×52=.(10分)
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質,圓內的圓周角,直徑與圓周角的關系,以及正切的概念.
練習冊系列答案
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B.
C.1
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A.
B.
C.1
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(2)當點P運動到AB弧中點時,求CD的長;
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A.
B.
C.1
D.2

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