Question

老師在黑板上寫了以下幾個算式：5²-3²=8×2；9²-7²=8×4；11²-5²=8×12；15²-3²=8×27；15²-7²=8×22…
（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的算式；
（2）用文字概括反映上述算式的規律；
（3）證明這個規律的正確性．

Answer 1

解：（1）寫出兩個正確的算式；
7²-3²=8×5；11²-7²=8×12；15²-7²=8×25；15²-11²=8×18…
9²-5²=8×9；13²-9²=8×15；13²-5²=8×20；17²-5²=8×35…；

（2）規律：任意兩個奇數的平方差等于8的倍數；

（3）證明：設m，n為整數且m＞n，兩個奇數可表示為2m+1和2n+1，則（2m+1）²-（2n+1）²=（2m+1+2n+1）（2m+1-2n-1）=4（m-n）（m+n+1）．
當m、n同是奇數或偶數時，m-n一定為偶數，所以4（m-n）一定是8的倍數，
當m、n一奇一偶時，則m+n+1一定為偶數，所以4（m+n+1）一定是8的倍數．
所以任意兩奇數的平方差是8的倍數．
分析：本題的關鍵是先從式子的表面奇數平方的差是8的倍數，然后進一步找到關于（2m+1）²-（2n+1）²中m，n同時取奇數或偶數的得到關于8的倍數．
點評：本題通過取不同的同偶或同奇數m，n值從而得到式子，可以看出本題的關鍵是找到關于m，n式子的關系式．