Question

（2003•武漢）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD、CB為⊙O的切線，D、B為切點，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點F，連接AD、BD．以下結論：①AD∥OC；②點E為△CDB的內心；③FC=FE；④CE•FB=AB•CF．其中正確的只有（ ）

A．①②
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根據切線長定理，證△COB≌△COD，可得∠COB=∠BOD，根據圓周角定理即可得出∠DAB=∠COB，由此可證得AD∥OC；
連接DE、BE；上面已證得弧DE=弧BE，根據弦切角定理以及圓周角定理相等，易求得DE、BE分別平分∠CDB和∠CBD；根據三角形內心的定義，即可得出結論②正確；
若FE=FC，則∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB，即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而這個條件并不一定成立．故③不正確；
先證明FB=GB，然后證明△ABG∽△CEF，從而可得出④正確．
解答：解：連接OD，DE，EB，
CD與BC是⊙O的切線，由切線定理知：CD=BC，∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，
∴△CDO≌△CBO，∠COD=∠COB，
∴∠COB=∠DAB=∠DOB，
∴AD∥OC，故①正確；
∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，
因此E為△CBD的內心，故②正確；
若FC=FE，則應有∠OCB=∠CEF，應有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD與弧BE不一定相等，故③不正確；

設AE、BD 交于點G，由②可知∠EBG=∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB=GB，
由切線的性質可得，點E是弧BD的中點，∠DCE=∠BCE，
又∵∠MDA=∠DCE（平行線的性質）=∠DBA，
∴∠BCE=∠GBA，
而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所對的圓周角相等），
∴∠AGB=∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE•GB=AB•CF，
又∵FB=GB，
∴CE•FB=AB•CF
故④正確．
因此正確的結論有：①②④．
故選D．
點評：本題利用了切線長定理，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，弦切角定理，內心的概念，以及對相似三角形的性質求解．