Question

（2003•武漢）已知：二次函數y=x²-2（m-1）x-1-m的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，與y軸交于點C，且滿足．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分△CPQ的面積？若存在，求出k、b應滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要先化簡題中給出的OA，OB，OC的比例關系式，然后根據韋達定理用m替換掉經過化簡的比例關系式中OA，OB的值，而OC=1+m，因此可得出一個關于m的方程，即可求出m的值，也就能求出拋物線的解析式．
（2）如果存在這樣的直線，那么被y軸平分的△CPQ中，兩個小三角形應該同底，面積相等，因此等高．即P，Q兩點的橫坐標互為相反數．聯立直線的解析式和（1）的拋物線的解析式，可得出一個關于x的一元二次方程，那么根據兩個互為相反數可得出k的值．
而這兩個函數的交點有兩個，因此方程的△＞0，根據這兩個條件即可的k，b應滿足的條件．
解答：解：（1）∵x₁＜0＜x₂，
∴AO=-x₁，OB=x₂，
又∵a=1＞0，
∴CO=m+1＞0，
∴m＞-1，
∵，
∴CO（OB-AO）=2AO•OB，
即（m+1）（x₁+x₂）=-2x₁x₂
∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-（1+m），
∴（m+1）•2（m-1）=2（1+m），
解得，m=-1（舍去），m=2．
∴二次函數的解析式為y=x²-2x-3．

（2）存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分△CPQ的面積，
設點P的橫坐標為x_P，點Q的橫坐標為x_Q，直線與y軸交于點E
∵S_△PCE=S_△QCE，CE•|x_P|=CE•|x_Q|，
∴|x_P|=|x_Q|，
∵y軸平分△CPQ的面積，
∴點P、Q在y軸異側，
即x_P=-x_Q，
由，
得x²-（k+2）x-（b+3）=0（1）x_P，x_Q為（1）的兩根，
∴x_P+x_Q=k+2=0，
∴k=-2，
又∵直線與拋物線有兩個交點，
∴b+3＞0，即b＞-3，
∴當k=-2且b＞-3時直線y=kx+b與拋物線交于點P，Q使y軸平分△CPQ的面積．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，韋達定理的應用等知識點．